Featured
fddeffeeadfab

Аспирантка решила топологическую задачу полувековой давности

У Лизы Пиччирилло ушло меньше недельки на поиски ответа на старенькый вопросец о необычном узле, открытом наиболее пятидесяти годов назад знаменитым математиком Джоном Конвеем.
Аспирантка решила топологическую задачу полувековой давности

В летнюю пору 2018 года на конференции по низкоразмерной топологии и геометрии Лиза Пиччирилло услышала о маленькой математической проблемке. Она показалась хорошим испытательным полигоном для неких техник, которые Лиза разрабатывала, будучи аспиранткой в Техасском институте в Остине.

«Я не разрешала для себя работать над ней днём, — произнесла она, — так как не считала эту задачку истинной арифметикой. Я принимала её больше как домашнюю работу».

Вопросец состоял в последующем: является ли узел Конвея – сложное переплетение верёвки, открытое наиболее пятидесяти годов назад знаменитым математиком Джоном Хортоном Конвеем – срезом узла наиболее высочайшей размерности. «Срезанность» – один из первых естественных вопросцев, которые спецы по теории узлов задают о узлах из пространств больших разрешений, и арифметики смогли ответить на него для почти всех тыщ узлов, имеющих не наиболее 12 пересечений – всех, не считая 1-го. Узел Конвея, имеющий 11 пересечений, дразнил математиков много десятилетий.

Ещё до конца недельки у Пиччирилло был готов ответ: узел Конвея не является упомянутым срезом. Через некоторое количество дней при встрече с Камероном Гордоном, доктором из Техасского института, она вскользь упомянула о своём решении.

«Я произнес: Что?? Да это сходу обязано пойти в »Анналы»!» – произнес Гордон, имея в виду один из огромнейших математических журналов, Annals of Mathematics.

«Он начал орать: Почему ты не радуешься этому?» – произнесла Пиччирилло, сейчас постдок в Брандейском институте. «Он как будто с мозга сошёл».

«Не думаю, что она поняла, как эта задачка была старенькой и известной», — произнес Гордон.

Доказательство Пиччирилло возникло в журнальчике Annals of Mathematics в феврале. Эта работа и остальные её заслуги обеспечили ей пространство в Массачусетском технологическом институте, где она начнёт работать уже с 1 июля, всего через 14 месяцев опосля защиты докторской.

Вопросец принадлежности узла Конвея к срезанным был известен не только лишь из-за того, что он так длительно оставался без ответа. Срезанные узлы дают математикам возможность прозондировать необычную природу четырёхмерного места, в каком время от времени можно связать в узел двумерные сферы таковым скомканным методом, что их не получится разгладить. Срезанность «связана с некими из глубочайших вопросцев четырёхмерной топологии», произнес Чарльз Ливингстон, почётный доктор Индианского института.

«Вопросец о срезанности узла Конвея был аспектом огромного количества современных разработок, относящихся к общим нюансам теории узлов», — произнес Джошуа Грин из Бостонского института, дипломный управляющий Пиччирилло. «Было весьма приятно узреть, как человек, которого я знал достаточно издавна, в один момент вынул этот клинок из камня».

Чудесные сферы

Большая часть из нас представляют для себя узел как кусок переплетённой верёвки с 2-мя концами. Но арифметики работают с верёвками, концы которых соединены меж собой, в итоге что узел недозволено распутать. За крайнее столетие эти завязанные петли помогали учить вопросцы из разных областей науки, от квантовой физики до строения ДНК (Дезоксирибонуклеиновая кислота — макромолекула, обеспечивающая хранение, передачу из поколения в поколение и реализацию генетической программы развития и функционирования живых организмов), также из топологии трёхмерных пространств.


На этом видео от 1990 года Джон Конвей разъясняет, как ещё в старших классах школы показал, что два узла не отменяют друг дружку

Но если мы учтём время в качестве измерения, то наш мир будет четырёхмерным, потому естественно задать вопросец о существовании соответственной теории узлов в 4D. И это не означает, что мы можем просто взять все трёхмерные узлы и запихнуть их в четырёхмерное место: если у вас есть четыре измерения, вы сможете распутать всякую петлю, если начнёте подымать отрезки верёвки друг над другом в четвёртом измерении.

Чтоб завязать узел в 4D, нужна двумерная сфера, а не одномерная петля. Буквально так же, как три измерения обеспечивают довольно места для завязывания петель, но не для их развязывания, четыре измерения обеспечивают пространство для завязывания сфер, что арифметики в первый раз сделали в 1920-х.

Сложно представить для себя завязанную сферу в четырёхмерном пространстве, но для этого полезно поначалу представить для себя обыденную сферу в 3D. Если вы её разрежете, то увидите несвязанную петлю. Но если разрезать связанную сферу в 4D, вы увидите связанную петлю (либо, может быть, несвязанную петлю, либо несколько петель, связанных вместе – зависит от того, где резать). Хоть какой узел, который можно получить, разрезав связанную сферу, считается срезанным. Некие узлы не срезанные – например, узел с 3-мя пересечениями, трифолий.

Аспирантка решила топологическую задачу полувековой давности

Срезанные узлы «наводят мост меж трёхмерной и четырёхмерной историями теории узлов», произнес Грин.

Но есть одна проблемка, раскрывающая достояние и специфика четырёхмерной истории: в четырёхмерной топологии есть два разных варианта срезанности. Несколько революционных работ сначала 1980-х годов (за которые Майкл Фридман и Саймон Дональдсон получили филдсовскую премию) проявили, что четырёхмерное место содержит не только лишь гладкие сферы, которые мы интуитивно для себя представляем. В нём также есть так скомканные сферы, что их нереально разгладить. И вопросец о срезанности узла зависит от того, учесть ли эти скомканные сферы.

«Это весьма, весьма странноватые объекты, практически чудесные», — произнес Шелли Харви из института Райса (конкретно из доклада Харви в 2018 году Пиччирилло в первый раз выяснила о узле Конвея).

Эти странноватые сферы – не ошибка четырёхмерной топологии, а её изюминка. Топологические срезанные, но не «гладко срезанные» узлы – другими словами, узлы, являющиеся срезами скомканных сфер – разрешают математикам создавать т.н. «экзотичные» варианты обыденного четырёхмерного места. Эти копии четырёхмерного места с топологической точки зрения смотрятся так же, как обыденное, но при всем этом они невозвратно скомканы. Существование таковых экзотичных пространств выделяет четвёртое измерение посреди всех других.

Вопросец срезанности – это «зонд меньшей размерности» для этих экзотичных четырёхмерных пространств, произнес Грин.

За годы исследовательских работ арифметики открыли целый набор узлов, срезанных топологически, но не гладко. Но посреди узлов с количеством пересечений до 12 таковых, как бы, не наблюдалось – кроме, может быть, узла Конвея. Арифметики могли разобраться со срезанностью всех других узлов с числом пересечений не выше 12, но узел Конвея никак им не давался.

Конвей, погибший в прошедшем месяца из-за коронавируса, был известен необходимыми вкладами в целый диапазон областей арифметики. В первый раз он заинтересовался узлами в 1950-х и вымыслил обычный метод перечислить фактически все узлы с количеством пересечений прямо до 11 (прошлые полные списки включали лишь узлы с количеством пересечений прямо до 10).

Но один узел в этом перечне стоял домом. «Думаю, Конвей сообразил, что этот узел был каким-то особым», — произнес Грин.

Узел Конвея, как его позже окрестили, является топологическим срезом – это арифметики сообразили ещё в 1980-х годах в рамках серии революционных открытий. Но они не могли разобраться с тем, гладкий ли это срез. Они подозревали, что это не так, так как у него не было таковой индивидуальности, как «ленточность», которая обычно наблюдается у гладких узлов. Но ещё одна его изюминка не давала шансов всем попыткам показать, что срез этот не гладкий.

А конкретно – у узла Конвея есть братский узел, либо, как молвят в теории узлов, мутация. Если нарисовать узел Конвея на бумаге, вырезать определённую её часть, перевернуть фрагмент и опять соединить узел, получится иной узел, узнаваемый, как узел Киношиты–Терасаки.

Аспирантка решила топологическую задачу полувековой давности
Обосновать, что узел Конвея не является гладким срезом, учёным мешало его сходство с узлом Киношиты–Терасаки. Лиза Пиччирилло выдумала, как связать узлу Конвея новейшего, наиболее сложного приятеля.

Неувязка в том, что этот новейший узел является гладким срезом. И так как узел Конвея так очень походит на гладкий срез, он избегает действия всех инструментов (инвариантов), применяемых математиками для определения узлов, не являющихся срезами.

«При возникновении новейшего инварианта мы пробовали проверить его на узле Конвея, — произнес Грин. – И это таковой неповторимый упорный пример, который вне зависимости от инварианта не гласил нам, является ли он срезом, либо нет».

Узел Конвея «попадает на пересечение слепых пятен» этих инструментов, произнесла Пиччирилло.

Один математик, Марк Хьюз из института Бригама Янга, сделал нейросеть, использующую инварианты узлов и другую информацию для пророчества таковых их параметров, как срезанность. Для большинства узлов сеть делает чёткие пророчества. Понимаете, что она произнесла по поводу гладкой срезанности узла Конвея? 50 на 50.

«С течением времени этот узел начал выделяться посреди остальных, как неподвластный нам», — произнес Ливингстон.

Хитрые повороты

Пиччирилло нравится зрительная интуиция, сплетенная с теорией узлов, но она не считает, что сначала является теоретиком в данной для нас области. «Меня больше заинтересовывают трёхмерные и четырёхмерные фигуры, но их исследование тесновато переплетено с теорией узлов, потому я и ею мало занимаюсь», — написала она в емейле.

Когда в институте она начала учить арифметику, то не выделялась как «обычный ребёнок-вундеркинд в арифметике», произнесла Элисенда Грисби, один из педагогов Пиччирилло в Бостонском институте. Грисби сначала приметила творческую натуру Пиччирилло. «Она постоянно веровала в корректность собственной точки зрения».

Вопросец, связанный с узлом Конвея, попался Пиччирилло, когда она задумывалась над тем, могут ли узлы быть соединены меж собой кое-чем не считая мутаций. У всякого узла есть его т.н. четырёхмерный след, который можно получить, если расположить узел на границе четырёхмерного шара и пришить сверху вдоль узла что-то вроде капюшона. След узла «достаточно жёстко шифрует собственный узел», — произнес Гордон.

Аспирантка решила топологическую задачу полувековой давности

У различных узлов быть может однообразный четырёхмерный след, и арифметики уже знали, что у таковых, так сказать, родственников по следам, постоянно однообразный статус срезанности – или они оба срезанные, или нет. Но Пиччирилло и Аллисон Миллер, постдок из института Райса, показали, что такие следовые родственники не непременно идиентично смотрятся для всех инвариантов, использующихся для исследования срезанности.

Это указало Пиччирилло путь к стратегии, применяемой для подтверждения того, что узел Конвея не относится к срезанным: если б ей удалось сделать следового родственника для этого узла, может быть, он бы охотнее сотрудничал с одним из инвариантов среза, чем сам узел Конвея.

Конструирование таковых родственников – задачка непростая, но Пиччирилло была в этом профессионалом. «Я, в общем-то, сиим и занимаюсь, — произнесла она. – Потому я просто пошла домой и сделала это».

Применив хитроумную комбинацию, Пиччирилло смогла сконструировать непростой узел, имеющий этот же след, что и узел Конвея. И для этого узла инструмент под заглавием
«с-инвариант Расмуссена» указывает, что он не является гладко срезанным – как, как следует, и узел Конвея.

«Весьма прекрасное подтверждение», — произнес Гордон. По его словам, не было обстоятельств ждать, что узел, сделанный Пиччирилло, поддастся с-инварианту Расмуссена. «Но подход сработал, что даже умопомрачительно».

Подтверждение Пиччирилло «встаёт в один ряд с маленькими и нежданными подтверждениями неуловимых результатов, которые исследователи в данной для нас области способны стремительно переварить, восхититься и попробовать обобщить – не говоря уже о том, чтоб удивляться, почему ранее никто так длительно не мог додуматься», — написал Грин в емейле.

Следы узлов – это традиционный инструмент, существовавший несколько десятилетий, но Пиччирилло разобралась в нём лучше остальных, произнес Грин. По его словам, её работа показала топологам, что следы узлов недооценены. «Она взяла кое-какие мало запылённые инструменты, — произнес он. – И сейчас остальные уже следуют её примеру».

Источник

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Zeen is a next generation WordPress theme. It’s powerful, beautifully designed and comes with everything you need to engage your visitors and increase conversions.

Ещё
Приметы 24 сентября 2020: что можно делать в день Федоры